Бърн е първото от шест деца, родено в Дъблин, Ирландия. Баща му е копувач, а майка му - болничен работник. Той е възпитан като католик и е обучаван от ирландските християнски братя. Пет години от детството си прекарва в семинария, където се обучава за католически свещеник. По-късно казва: "Прекарах пет години в семинарията и предполагам, че се предполагаше, че имаш призвание. Впоследствие осъзнах, че изобщо не съм имал такова. Не вярвам в Бога. Но по онова време вярвах в тази представа, че си бил призован". Учи в Университетския колеж в Дъблин, където изучава археология и лингвистика и започва да владее ирландски език. Играе футбол (soccer) в Дъблин с футболния клуб Stella Maris.
След като напуска UCD, Бърн работи в областта на археологията, но запазва любовта си към езика, като през 1996 г. пише Draíocht (Магия) - първата драма на ирландски език по националната ирландска телевизия TG4.
Открива актьорските си способности още като младеж. Преди това работи по няколко професии, сред които археолог, готвач, тореадор и учител по испански език. Започва да се занимава с актьорско майсторство, когато е на 29 години. Започва да играе на сцената на театър "Фокус" и театър "Аби" в Дъблин, по-късно се присъединява към театър "Роял Корт" и Кралския национален театър в Лондон.
Бърн става известен в последния сезон на ирландското телевизионно шоу "Риорданс", по-късно се снима в спинофния сериал "Бракен". Филмовият му дебют е през 1981 г. в ролята на лорд Утер Пендрагон в епоса за крал Артур "Екскалибур" на Джон Бурман.
Бърн участва в ролята на терапевта д-р Пол Уестън във високо оценения от критиката сериал на HBO "На лечение" (2008 г.).
При завръщането си в театъра през 2008 г. той се появява в ролята на крал Артур в "Камелот" на Лернер и Льов с Нюйоркската филхармония, която е представена в предаване на PBS в поредицата "На живо от Линкълн център" през май 2008 г.
Бърн посещава Америка едва на 37 години. През 1988 г. Бърн се жени за актрисата Елън Баркин, от която има две деца. Двойката се разделя по взаимно съгласие през 1993 г. и се развежда през 1999 г. Бърн живее в Бруклин, Ню Йорк.
През ноември 2004 г. Бърн е назначен за посланик на УНИЦЕФ в Ирландия.
През 2007 г. Бърн получава първата от новосъздадените награди "Волта" на 5-ия международен филмов фестивал "Jameson" в Дъблин. Тя е за цялостно актьорско творчество. На 20 февруари 2007 г. той получава и почетния патронаж на Университетското философско общество на Тринити Колидж, Дъблин. В края на 2007 г. Националният университет на Ирландия, Голуей, му присъжда почетна степен в знак на признание за "изключителния принос на Бърн към ирландското и международното кино". - И.И. превод